Тригонометрия

Учебное пособие к этой главе

 Радианное и градусное измерение углов

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии, длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол α связаны соотношением:

α = l / r


Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то α = 1, и мы говорим, что угол α равен 1 радиану, что обозначается: α = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны ( AmB = AO, рис.1 ). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.



Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом:

2π = C / r .


Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2π в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:

1 рад =
360°
≈ 57°, 2958 ≈ 57°17'45"


Обратно,

1° =
360°
≈ 0.017453 рад.


Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

     

 Постоянные и переменные

Применяя математику в изучении законов природы и используя их в технике, мы сталкиваемся с постоянными и переменными величинами. Переменная величина может меняться в зависимости от условий рассматриваемой задачи; постоянная не может меняться в зависимости от этих условий. Одна и та же величина может быть постоянной для одной задачи и переменной для другой.

П р и м е р . Ускорение свободного падения является постоянной величиной для одной широты Земли, но меняется в зависимости от широты, т.е другими словами, является величиной переменной.

Переменные обозначаются обычно последними буквами латинского алфавита: x, y, z, …, а постоянные – первыми: a, b, c, … .  

 Перевод градусной меры в радианную и обратно

1. Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на π / 180 ≈ 0.017453, число минут – на π / ( 180 · 60 ) ≈ 0.000291, число секунд – на π / ( 180 · 60 · 60 ) ≈ 0.000005 и сложить найденные произведения.

П р и м е р . Найти радианную меру угла 12°30' с точностью до четвёртого десятичного знака.

Р е ш е н и е .

Умножим 12 на π / 180 : 12 · 0.017453 ≈ 0.2094.

Умножим 30 на π / (180 · 60 ) : 30 · 0.000291 ≈ 0.0087.

Теперь находим: 12°30' ≈ 0.2094 + 0.0087 = 0.2181 рад.

2. Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить число радиан на 180° / π ≈ 57°.296 = 57°17'45" (относительная погрешность результата составит ~ 0.0004%, что соответствует абсолютной погрешности ~ 5" для полного оборота 360° ).

П р и м е р . Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1'.

Р е ш е н и е .

Последовательно найдём: 1 ≈ 57°17'45" ;

0.4 рад ≈ 0.4 · 57°.296 = 22°.9184;

0°.9184 · 60 ≈ 55'.104; 0'.104 · 60 ≈ 6".

Таким образом, 0.4 рад ≈ 22°55'6" и тогда:

1 рад ≈ 57°17'45"
+
0.4 рад ≈ 22°55'6"
_____________________
1.4 рад ≈ 80°12'51"

После округления этого результата до требуемой точности в 1' окончательно получим: 1.4 рад » 80°13'.    

 Тригонометрические функции острого угла

Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника             ( рис.2 ):



1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c .
2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c .
3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = a / b .
4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a .
5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b .
6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a .

Аналогично записываются формулы для другого острого угла B ( Запишите их, пожалуйста ! ).

П р и м е р . Прямоугольный треугольник ABC ( рис.2 ) имеет катеты:

a = 4, b = 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A.

Р е ш е н и е . Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора:

c2 = a2 + b2,


откуда следует c = √a2 + b2 = √42 + 32 = 5

Согласно вышеприведенным формулам имеем:

sin A = a / c = 4 / 5; cos A = b / c = 3 / 5; tan A = a / b = 4 / 3.


Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице:



Углы 0° и 90°, строго говоря, не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций ( см. далее ) эти углы также рассматриваются. Символ в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению.

  Решение прямоугольных треугольников

1. По двум сторонам. Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона вычисляется по теореме Пифагора (см. соответствующий параграф в разделе «Треугольник» главы «Геометрия»). Острые углы могут быть определены поодной из трёх первых формул для тригонометрических функций в зависимости от того, какие стороны известны. Например, если заданы катеты a и b, то угол A определяется по формуле:

tan A = a / b .


П р и м е р 1.

Катет a = 0.324, гипотенуза c = 0.544. Найти второй катет b и углы A и B.

Р е ш е н и е . Катет b равен:



П р и м е р 2.

Даны два катета: a = 7.2 см, b = 6.4 см. Найти гипотенузу и углы A и B.

Р е ш е н и е . Гипотенуза c равна:



2. По стороне и острому углу. Если задан один острый угол A, то другой острый угол B находится из равенства: B = 90° - A. Стороны находятся по формулам тригонометрических функций, переписанных в виде:

a = c sin A , b = c cos A , a = b tan A ,


b = c sin B , a = c cos B , b = a tan B .


Остаётся выбрать те формулы, которые содержат заданную или уже найденную сторону.

П р и м е р .

Дано: гипотенуза c = 13.65 м и острый угол A = 54°17’.

Найти другой острый угол B и катеты a и b .

     

  Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Эти формулы являются основными тригонометрическими тождествами, то есть они верны для любого угла α. Используя их, можно сократить и упростить процесс вычислений.

     

  Тригонометрические функции любого угла

Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов ( не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).        



Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол α с неподвижным радиусом OA. Он может быть расположен в 1-ой четверти ( COA ), во 2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти ( EOA ) или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.

Линия синуса угла α ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла α - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла α ( рис.4 ) – это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла α - отрезок OA линии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.



Линия тангенса ( рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра.
Линия котангенса ( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра.
Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса.
Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса.

Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.



Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.

 Формулы приведения

Эти формулы позволяют:

1) найти численные значения тригонометрических функций углов, больших 90°;
2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям;
3) избавиться от отрицательных углов и углов, больших 360°.       


     

 Формулы сложения и вычитания

sin (α + β) = sin &n#945 cos α + cos β sin β ;

sin (α + β) = sin &n#945 cos α - cos β sin β ;

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β

 

 Формулы двойных, тройных и половинных углов



Знаки перед корнями выбираются в зависимости от четверти, в которой расположен угол.

 Преобразование тригонометрических выражений в произведение

                              

     

 Некоторые важные соотношения

                              



Последние три формулы называются универсальной подстановкой; они используются при решении некоторых тригонометрических уравнений и интегрировании тригонометрических функций.

     

 Основные соотношения между элементами треугольника

Обозначения: a, b, c – стороны; A, B, C – углы; p = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр; h – высота; S – площадь; R – радиус описанного круга; r – радиус вписанного круга.            

Теорема косинусов:



Теорема синусов:



Теорема тангенсов:



Формулы площади, формула Герона:



Радиусы описанного и вписанного кругов: