Алгебра

Учебное пособие к этой главе

 Рациональные числа

Отрицательные числа появляются, когда из меньшего числа вычитают большее, например:

10 – 15 = – 5.


Знак «минус» перед 5 показывает, что это число отрицательное.

Ряд целых отрицательных чисел бесконечен:      

–1, –2, –3, – 4, –5, ...


Целые числа - это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль:

... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...


Дробные отрицательные числа появляются, например, когда из меньшего дробного числа вычитают большее:

3
5
-
12
5
=
9
5


Можно также сказать, что дробные отрицательные числа появляются в результате деления целого отрицательного числа на натуральное:

-13 : 7 =
-13
7


Положительные числа ( целые и дробные ) в противоположность отрицательным числам ( целым и дробным ) рассматриваются в арифметике.

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее:

Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где m и n целые числа.

 Действия с отрицательными и положительными числами

Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы :

| – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.


Сложение:

1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

П р и м е р ы :

( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ;


( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 .


2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной.

П р и м е р ы :

( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ;


( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 .


Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

П р и м е р ы :

( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;


( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;


( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;


( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;


Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

+ · + = +


+ · – = –


– · + = –


– · – = +


При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

П р и м е р :

(+
2
3
) · (+3) · (-4) · (-6) · (-
1
4
) = -12 Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

+ : + = +


+ : – = –


– : + = –


– : – = +


П р и м е р :

( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3.

 Одночлены и многочлены

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,
3 a2 b4 , bd3, – 17 a b c


- одночлены. Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x3 y2 – 5 b3 x3 y2 + c5x3y2 = ( a – 5 b3 + c5 ) x3 y2.


Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р :

5 a x3 z8 ( – 7 a3 x3 y2 ) = – 35 a4 x6 y2 z8.


Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р :

35 a4 x3 z9 : 7 a x2 z6 = 5 a3 x z3.


Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:

( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra - раскрытие скобок.


Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.

П р и м е р :

( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) = xa + xb + ya + yb + za + zb .


Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.

 Формулы сокращённого умножения

Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.

Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ,

( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 ,

( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2,

( a + b )3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,

( a – b )3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 ,

( a + b )( a2 – ab + b2 ) = a3 + b3,

( a – b )( a 2 + ab + b2 ) = a3 – b3.

П р и м е р . Вычислить 993.

Р е ш е н и е : 993 = (100 – 1)3 = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.

 Деление многочлена на линейный двучлен

Линейный двучлен есть многочлен первой степени: a x + b. Если разделить многочлен, содержащий букву x , на линейный двучлен x – b, где b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевой степени, т.е. некоторым числом N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при x = b. Это свойство вытекает из теоремы Безу: многочлен a0 xm + a1 xm-1 + a2xm-2 + ... + am делится на двучлен x – b с остатком N = a0bm + a1bm-1 + a2bm-2 + ... + am.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с определением операции деления многочленов имеем:

a0xm + a1xm-1 + a2xm-2 + ... + am = ( x – b ) Q + N ,

где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.

Подставим x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q обращается в нуль, и мы получаем:

a0bm + a1bm-1 + a2bm-2 + ... + am = N .

З а м е ч а н и е . При N = 0 число b является корнем уравнения:

a0xm + a1xm-1 + a2xm-2 + ... + am = 0 .

Теорема доказана.    

 Делимость двучленов

Cледствием теоремы Безу являются следующие признаки делимости двучленов:

1) Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел, т.e. xm – am делится на x – a .

2) Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму, т.е. если m - чётное число, то двучлен

xm – am делится как на x – a так и на x + a .

Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

3) Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.

4) Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел.

5) Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел никогда не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму.

П р и м е р ы :

( x2 – a2 ) : ( x – a ) = x + a ;

( x3 – a3 ) : ( x – a ) = x2 + a x+ a2 ;

( x5 – a5 ) : ( x – a ) = x4 + a x3 + a2 x2 + a3 x + a4 .

 Разложение многочленов на множители

В общем случае разложение многочленов на множители не всегда возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.

1. Если все члены многочлена содержат в качестве сомножителя одно и то же выражение, то его можно вынести за скобки.

2. Иногда, группируя члены многочлена в скобки, можно найти общее выражение внутри скобок, это выражение можно вынести в качестве общего множителя за скобки, а после этого другое общее выражение окажется внутри всех скобок. Тогда его следует также вынести за скобки и многочлен будет разложен на множители.

П р и м е р :

ax+ bx+ ay+ by = ( ax+ bx ) + ( ay + by ) = x( a + b ) + y ( a + b ) = ( x + y ) ( a + b ) .

3. Иногда включение новых взаимно уничтожающихся членов помогает разложить многочлен на множители.

П р и м е р :

y2 – b2 = y2 + yb – yb – b2 = ( y2 + yb ) – ( yb + b2 ) = y ( y + b ) – b ( y + b ) = ( y + b ) ( y – b ) .

4. Использование формул сокращённого умножения.

 Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь – это выражение вида A / B, где A и B могут быть числом, одночленом, многочленом. Как и в арифметике, A называется числителем, B – знаменателем. Арифметическая дробь является частным случаем алгебраической.

Сокращение дробей

П р и м е р :

3a2 - 5ab + 2b2
3a2 - ab + 2b2
=
(3a - 2b) (a - b)
(3a - 2b) (a + b)
=
a - b
a + b


Сложение и вычитание дробей

Для сложения или вычитания двух или нескольких дробей, необходимо выполнить те же самые действия, что и в арифметике.

П р и м е р :

a
c2x
+
a
cx2
=
ax + bx
c2x2


Умножение и деление дробей

Умножение и деление алгебраических дробей ничем не отличаются от тех же действий в арифметике. Сокращение дроби можно выполнить как до, так и после умножения числителей и знаменателей.

П р и м е р :
2ab2
cxy2
:
4a2b
3cy3
=
2ab2 · 3cy3
cxy2 · 4a2b
=
3by
2ax

   

 Уравнения: общие сведения

Если два выражения (числовые и / или буквенные), соединены знаком « = », то говорят, что они образуют равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

П р и м е р ы :

1) Числовое равенство 4 · 7 + 2 = 30 есть тождество.

2) Буквенное равенство ( a + b )( a – b ) = a2 – b² есть тождество, потому что оно справедливо при всех значениях содержащихся в нём букв.

Уравнение – это буквенное равенство, которое справедливо (т.е. становится тождеством) только при некоторых значениях входящих в него букв. Эти буквы называются неизвестными, а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество – корнями уравнения. Процедура нахождения всех корней уравнения называется решением. Решить уравнение – значит найти все его корни. Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.

П р и м е р .

Уравнения 5x – 25 = 0 и 2x – 7 = 3 являются равносильными, так как они имеют один и тот же корень:

x = 5 .

 Основные методы решения уравнений

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:

1. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение (3x+2)2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x2 + 12x + 4 = 15x + 10 .

2. Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x2 – 3x – 6 = 0 .

3. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р :

Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.
Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение
( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.
Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.
И наоборот, деление может привести к потере корня. Так в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 .

В последнем уравнении мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим: 3x2 – x – 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному:

(3x+ 2)2 = 15x + 10 .

4. Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;
б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы :

Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5.

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение:

49x2 = 1225 .

имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения 49x2 = 1225 даёт в результате 7x = 35, и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению: | 7x | = 35, а следовательно, к двум случаям:

1) 7x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7x = 35, тогда x = – 5 .

Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения. Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся с очень важным понятием арифметического корня.

 Линейные уравнения с одним неизвестным

Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:

ax + b = 0,

где a и b – известные числа, а x – неизвестная величина.

Решить уравнение – значит найти численное значение неизвестного x , при котором это уравнение обращается в тождество.

Если a не равно нулю ( a ≠ 0 ), то решение (корень) уравнения имеет вид:

x = -
b
a


Если a = 0, то возможны два случая:

1. b = 0, тогда 0 · x + 0 = 0. Здесь x может быть любым числом ( проверьте ! ).

2. b ≠ 0, тогда 0 · x + b = 0. Здесь нет решений ( проверьте и это!).

П р и м е р :

Решить уравнение
x
x-2
=
x+1
x+2
лежащие выражения: x2 + 2x = x2 – 2x + x – 2 . Перенесём все члены в левую часть уравнения. После приведения подобных членов получим: 3x + 2 = 0, откуда x = – 2 / 3 .      

 Степени и корни

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

am · an = am + n.


2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

am
an
= am-n


3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc… )n = an · bn · cn


4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b )n = an / bn.


5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(am)n = am n .


Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р .
( 2 · 3 · 5 / 15 )2 = 22 · 32 · 52 / 152 = 900 / 225 = 4 .


Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ √ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

n√abc = n√a·n√b·n√c ... .


2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

n√a : b = n√a : n√b


3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

(n√a)m = n√am


4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

n√a = mn√am


Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

a-n =
1
an


Теперь формула am : an = am - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р .
a4 : a7 = a4 - 7 = a-3 .


Если мы хотим, чтобы формула am : an = am - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы .

20 = 1, ( – 5 )0 = 1, ( – 3 / 5 )0 = 1.
     

 Арифметический корень

Как мы знаем, корень чётной степени имеет два значения: положительное и отрицательное. Так,     

√25 = +5 и -5, потому что (+ 5)2 = 25 и (- 5)2 = 25


Арифметическим корнем n–й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n–я степень которого равна a .

Алгебраическим корнем n–й степени из данного числа называется множество всех корней из этого числа. Алгебраический корень чётной степени имеет два значения: положительное и отрицательное, например:

√49 = ±7


Алгебраический корень нечётной степени имеет единственное значение: либо положительное, либо отрицательное. Например, арифметический корень

√49 = 7, но не -7 (±7 - это алгебраический корень).


И наоборот, кубический корень:

3√-27 = -3
     

 Мнимые и комплексные числа

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

x2 = a ,


где а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:

x = √a


Здесь возможны три случая:

1). Если a = 0 , то x = 0.

2). Если а – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x 2 = 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:

x = ± √25


3). Если а – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных нам положительных и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число неотрицательное ( продумайте это! ). Но если мы хотим получить решения уравнения x 2 = a также и для отрицательных значений а , мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые числа. Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным. Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу:

√-1 = i, так что i2 = -1


Тогда для уравнения x2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:

x = √-25 = 5i и x = -√-25 = -5i


Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество. (Проверьте !). В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:

a + b i ,


где a, b – действительные числа, i – мнимая единица.

П р и м е р ы комплексных чисел:

3 + 4 i , 7 – 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + Pi i.