Гильберт Давид

Биография

Родился 23 января 1862 в г.Велау близ Кёнигсберга (ныне г.Калининград, Россия) в семье окружного судьи. Поступил в гимназию Фридрихсколлег, а в 1879 перешел в Вильгельм-гимназию. По ее окончании поступил в Кёнигсбергский университет, однако, вопреки желанию отца, записался не на юридический, а на математический курс. На развитие Гильберта как математика в студенческие годы оказали большое влияние его друг Герман Минковский и их общий университетский преподаватель Адольф Гурвиц.

В феврале 1885 Гильберт защитил докторскую диссертацию О базисе в пространстве инвариантов, а в мае по настоянию Гурвица отправился в Лейпциг, где посещал лекции Клейна и принимал участие в его семинаре. В марте 1886 по совету Клейна отправился на семинар в Париж, где прослушал лекции Пуанкаре, Пикара, Эрмита, Жордана. Вернувшись в Кёнигсберг, Гильберт представил габилитационные тезисы и прочел лекцию на факультете, после чего получил титул профессора и право читать лекции в университете.

Особенностью научного творчества Гильберта является то, что его можно разделить на несколько периодов, в каждом из которых он занимался только задачами из одной области, а затем погружался в другую область. Период с 1885 по 1893 посвящен теории инвариантов. В этой уже значительно развитой области математики он доказал основную теорему о существовании конечного базиса в кольце всех инвариантов. Продолжением этих исследований стали работы по теории абстрактных полей, колец и модулей, фактически охватывающие современную алгебру. Работы Гильберта по теории инвариантов подвели черту под этой областью математики, и он перешел к новой теме, теории алгебраических числовых полей.

В марте 1895 при поддержке Клейна Гильберт получил место профессора Гёттингенского университета. Вскоре Германское математическое общество предложило ему написать обзор по теории чисел. Работая над обзором, Гильберт систематизировал эту труднейшую область математики, объединил все известные результаты в строгую теорию. В одной из рецензий на эту работу о ней отзывались как о «вдохновенном произведении искусства», а введение было названо «одним из лучших достояний немецкой прозы». Спустя год после появления обзора, в 1898, вышла в свет работа Гильберта О теории относительно абелевых полей, в которой он дал набросок теории полей классов и после этого занялся другой областью – основаниями геометрии.

Гильберт довел аксиоматику геометрии до совершенства, дав образец законченного изложения математической дисциплины. Выбрав систему аксиом, немного отличавшуюся от аксиом самого Евклида, он смог менее формально и с большей ясностью, чем другие математики до него (например, Пеано и Паш), продемонстрировать существо аксиоматического метода. На основе лекций в Гёттингенском университете была написана небольшая – всего 92 страницы – книга Основания геометрии, ставшая математическим бестселлером. Книга Основания геометрии была сразу же переведена на многие языки. А в это время Гильберт начал публиковать работы в еще одной, совершенно новой области математики.

Летом 1899 он обратился к знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. В этот же период Гильберт продолжал публиковать работы в области геометрии, написал работу Понятие числа.

Летом 1900 в Париже должен был состояться Второй международный конгресс математиков, и Гильберт получил приглашение выступить на нем с одним из основных докладов. В докладе со скромным названием Математические проблемы им были сформулированы 23 задачи, постановка которых во многом определила развитие математики в 20 в. Ученый, которому удавалось решить одну из них или внести вклад в ее решение, сразу становился знаменитостью.

После Парижа Гильберт продолжал заниматься геометрическими исследованиями, однако большую часть времени посвящал анализу. Начинался новый период его творческой жизни, в течение которого он значительно развил теорию интегральных уравнений Фредгольма и применил ее к ряду конкретных задач из теории дифференциальных уравнений. Введенное им понятие так называемого Гильбертова пространства (обобщающего понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай) составило одну из основ современного функционального анализа.

Работы по интегральным уравнениям привели Гильберта в пограничную область между математикой и физикой. Гильберту казалось, что настало время для проекта, предложенного им в Париже в качестве шестой проблемы 20 столетия, – аксиоматизации физики и других наук, связанных с математикой. Существовал раздел физики – кинетическая теория газов, – где физические понятия естественным образом вели к интегральным уравнениям. Именно здесь он начал претворять в жизнь свои планы. После этого занялся элементарной теорией излучения, понятия которой также приводили к интегральным уравнениям. За следующие два года Гильберт опубликовал серию работ, в которых с помощью линейных интегральных уравнений получил основные результаты этой теории, заложил для них аксиоматическую основу и доказал непротиворечивость своих аксиом. Затем Гильберт пришел к молекулярной теории строения вещества и собирался заняться теорией электрона. Его подходы в этих областях напоминали прежние трактовки кинетической теории, однако никогда не были опубликованы. С большим интересом следил Гильберт попытками Эйнштейна создать общую теорию относительности. Оба ученых пришли к цели почти одновременно: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свои две работы Об общей теории относительности 11 и 25 ноября 1915, Гильберт же передал Королевскому научному обществу в Гёттингене свою первую заметку Основания физики 20 ноября. Несмотря на эти впечатляющие результаты, замысел Гильберта «заковать физику» в рамки аксиоматического подхода не удался.

К зиме 1920–1921 интересы Гильберта начали опять смещаться в область математики. Теперь его главной целью была логическая формализация оснований математики. К 1922 у него сложился обширный план формализации математики с последующим доказательством непротиворечивости формализованной математики. В 1934 и 1939 вышло два тома Оснований математики, написанных Гильбертом совместно с его ассистентом П.Бернайсом.

В январе 1930 Гильберту исполнилось 68 лет – возраст, в котором профессор в Германии должен был уходить в отставку. В зимнем семестре 1929–1930 он прочитал свое «Прощание с педагогической деятельностью», а весной 1930 ушел в отставку. Его преемником на кафедре стал Вейль.

В 1932 на выборах победила национал-социалистическая партия, а в январе следующего года Гитлер стал канцлером Германии. Почти сразу же за этим университетам было приказано уволить из своих штатов всех преподавателей-евреев. Ультиматум Гитлера относился к очень многим профессорам Математического института в Гёттингене: к Куранту, Ландау, Э.Нётер, Бернайсу и другим. Многие друзья Гильберта были отправлены в «вынужденный отпуск», вскоре почти все они уехали из страны.

Умер Гильберт в Гёттингене 14 февраля 1943.

Научная деятельность

Научная биография Гильберта резко распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

теория инвариантов (1885-93),
теория алгебраических чисел (1893-98),
основания геометрии (1898—1902),
принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-06),
теория интегральных уравнений (1900-10),
решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-09),
основы математической физики (1910-22),
логические основы математики (1922-39).

В теории инвариантов исследования Гильберта явились завершением периода бурного развития этой области математики во второй половине XIX века. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом её последующего развития. Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило начало разработке так называемых прямых методов в вариационном исчислении. Построенная Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов. «Основания геометрии Гильберта» (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии.

К 1922 у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934 и 1939 гг. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции.

Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Гильберт в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С. Кон-Фоссеном. Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта, изданное под его наблюдением (1932-35), кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать».